為什麼公車一次來三班？：生活中隱藏的81個數學謎題(Why Do Buses Come in Threes?: The Hidden Mathematics of Everyday Life)＊自然科普類＊暢銷書榜～推薦！

作者：羅勃．伊斯威、傑瑞米．溫德漢
原文作者：Rob Eastaway、Jeremy Wyndham
譯者：蔡承志
出版社：臉譜
出版日期：2008/08/22
語言：繁體中文

ISBN：9789866739736
叢書系列：科普漫遊
規格：平裝/328頁/15.3x23.3cm/普通級/單色印刷/初版
出版地：台灣
本書分類：自然科普>數學>趣味數學

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第二章
走路也有大學問
哥尼斯堡道路之謎 　　
波羅的海沿岸有立陶宛和波蘭，兩國之間嵌入了一片俄羅斯領土，稱為加里寧格勒省（Kaliningrad Oblast）。省內的加里寧格勒市是個工業港，不管從哪角度來看，那裡都很單調。該市在二次大戰期間先是被盟軍轟炸機摧殘，後來則是被入侵的蘇俄部隊荼毒。如今所見的灰色粗劣公寓建築，則是在戰後匆促建成。原先座落於此的普魯士優美都市哥尼斯堡（Konigsberg）幾乎是蕩然無存。不只是熱愛建築的人士深感悲痛，懷舊的數學家也感到惋惜，因為歷來最偉大的數學家之一，尤拉（Leonhard Euler），就是因為十八世紀哥尼斯堡的規畫，才解答了一道難題，最後還促成兩個數學新領域，分別稱為「拓撲學」[1]（Topology）和「圖論」[2]（Graph Theory）。

註[1]拓撲學名稱起源於希臘語Topology，主要研究因數學分析而產生的幾何問題，今日，拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變量。

註[2]圖論屬應用數學的一部分，主要以圖為研究對象。圖論中的圖便是由數個給定的點及連接兩點間的線所構成，透過此種圖形來描述事物間的特定關係。

哥尼斯堡座落於普瑞格爾河畔（Pregel）。有七座橋樑連接兩座島嶼和河川兩岸，如圖所示。當地居民流行一種消遣，嘗試通過所有橋樑走完一圈，並不得跨越任何橋樑超過一次。當時的人知道怎樣才能自得其樂。

這項活動看似簡單，結果卻證明這絕非雕蟲小技。想像某個週日下午，一位哥尼斯堡人外出散步，卻愈來愈感到挫敗。「1、2、3、4、5、6……錯了！1、5、7、4、2、3……天打雷劈喔！」。事實上，尤拉第一次聽到這回事時，還沒有人找出這道難題的解法，他深感興趣並開始研究，結果證明這不可能有解。尤拉把地圖轉換為網絡圖來分析這道問題。

哥尼斯堡的橋樑網絡
網絡是以線條連接點群構成。乍看之下，上一張地圖和這張網絡圖並不相像，不過就數學家的說法，兩者是完全等價。也就是說，兩圖是拓撲等價的圖示。

標示A、B、C、D的點分別代表河川北岸、南岸（A和D）和兩座島嶼（B和C）。線條代表串連A、B、C和D的七座橋樑。有兩座橋樑連接A和B，兩座連接B和D，一座連接B和C，一座連接A和C，另外一座則連接C和D。

尤拉把點或節點區分為「奇」、「偶」兩種。奇節點表示有奇數線條從該點外延，偶節點則表示有偶數線條向外延伸。除了哥尼斯堡之外，尤拉還研究了許多網絡，他證明：

若各條路徑都只能通行一次，則唯有當環道中沒有奇節點或具有兩個奇節點時才能辦到。若為其他任何狀況都必須反覆通行，否則就無法走完網絡。

他還發現：若有兩個奇節點，那麼穿越環路的路徑就必須從奇節點之一開始，並以另一個為終點。

哥尼斯堡謎題終於出現證明。所有A、B、C、D四個節點全都是奇數的，因此根據尤拉第一定則，不可能有任何走法能夠解答原始問題。

從倫敦地下鐵看拓撲學 　　
所有人都體驗過這門學問，卻不見得知道那就是拓撲學。倫敦地下鐵地圖是最好的範例。這是現代數一數二的偉大設計，在倫敦搭乘地鐵絕對不會找不到路。「搭棕線到牛津廣場，換乘藍線搭兩站到維多利亞。」

圖示的簡潔網絡是由直線和等距車站所構成，看來和倫敦真正的地鐵路線毫不相像。如果你是根據普通地圖來描繪，倫敦的地下鐵路線，看來就像隻腿肢散亂的笨拙蜘蛛，右下角則幾乎沒有東西。不過，真正和旅客有關的事項是車站順序和隧道路線的交點。這看來就像是把實際地圖畫在橡皮上，接著擠壓拉扯成為較好用的形狀，而這就是拓撲學！　　

第八座橋樑在十九世紀後期建成，座落地點如第35頁的圖所示。究竟創建這座城市的元老是要為旅客改寫該市的謎題，或是由於當時交通壅塞所致，原因並不清楚，不過這樣一來，哥尼斯堡便「尤拉化」了。如今已經有可能不反覆通過橋樑便能完成旅程。其原因是，奇節點已經減少為兩個，不過根據尤拉第二定則，這就表示想要通行環道的人，就必須從B點起步並在C點結束，或也可以反向通行。

可嘆，1944年的空襲把老橋炸毀大半。然而，從往後繪製的地圖可以看出，顯然已經有五座跨河橋樑重建完成，於是市中心區就像這樣：加里寧格勒（哥尼斯堡）橋樑圖（現況）看來加里寧格勒又再次尤拉化，好比採B-C-A-B-D-C路線行進。俄國人是不是故意這樣做的？